如图A是半圆上一个三等分点，B是AM的中点，P是直径MN上一动点．已知⊙O半径为1，求AP+BP的最小值______．
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解题思路：找点A或点B关于MN的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置．根据题意先求出∠CAE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值．
作点B关于MN的对称点E，连接AE交MN于点P
此时PA+PB最小，且等于AE．
作直径AC，连接CE，OE，
又∵B是
AM的中点，
∴
AB=
BM=
ME=[1/2]
AM，
又∵A是半圆的三等份点，
∴∠AOM=60°，∠MOE=[1/2]∠AOM=30°，
∴∠AOE=90°，
∴∠CAE=45°，
又∵AC为圆的直径，
∴∠AEC=90°，
∴∠C=∠CAE=45°，
∴CE=AE=
2
2AC=
2，
即AP+BP的最小值是
2．
故答案为：
2．
点评：
本题考点： 垂径定理；勾股定理；轴对称-最短路线问题．
考点点评： 本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，此题的难点是确定点P的位置：找点B关于MN的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和AE于MN的交点P就是所求作的位置．再根据弧的度数和圆心角的度数求出∠CAE，根据勾股定理求出AE即可．
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