高二含绝对值不等式问题设f(x)=根号下1+x^2 求证对于任意的a、b,a不等于b,都有|f(a)-f(b)|
2个回答

|f(a)-f(b)| < |a-b|

|√(1+a^2) - √(1+b^2)| < |a-b|

[√(1+a^2) + √(1+b^2)]*|√(1+a^2) - √(1+b^2)| < [√(1+a^2) + √(1+b^2)]*|a-b| 注：同乘以正数√(1+a^2) + √(1+b^2)

|(1+a^2) - (1+b^2)| < [√(1+a^2) + √(1+b^2)]*|a-b|

|a-b|*|a+b| < [√(1+a^2) + √(1+b^2)]*|a-b| 注：a不等于b,所以|a-b|是正数

|a+b| < √(1+a^2) + √(1+b^2)

最后不等式显然成立：利用√(1+x^2) > |x|,有√(1+a^2) + √(1+b^2) > |a|+|b| > |a+b|

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