解题思路：（1）由题可得f'（x）=-3x2-4mx-m2则f'（1）=0，即m2+4m+3=0所以m=-3或m=-1．
（2）由（1）得f'（x）=-3x2+4x-1，令f'（x）≥0，得f（x）在[0，1]上的增区间为
[
1
3
，1]
，减区间为
[0，
1
3
]
，进而得到函数的最值[50/27]．
（3）由（2）得
(1+
x
2
)(2−x)≥
50
27
即整理得
x
1+
x
2
≤
27
50
(2x−
x
2
)
可得
a
1+
a
2
+
b
1+
b
2
+
c
1+
c
2
≤
27
50
(2a−
a
2
+2b−
b
2
+2c−
c
2
)＝
27
50
[2−(
a
2
+
b
2
+
c
2
)]
（1）由题可得f'（x）=-3x2-4mx-m2
则f'（1）=0，即m2+4m+3=0所以m=-3或m=-1，又m＞-2，故m=-1
（2）由（1）知，f（x）=-x3+2x2-x+2，则f'（x）=-3x2+4x-1
令f'（x）≥0，得f（x）在[0，1]上的增区间为[
1
3，1]，减区间为[0，
1
3]，
所以f(x)min＝f(
1
3)＝
50
27
（3）因f（x）=-x3+2x2-x+2=（1+x2）（2-x），x∈[0，1]
所以(1+x2)(2−x)≥
50
27，即[1
1+x2≤
27/50(2−x)
所以
x
1+x2≤
27
50(2x−x2)
故
a
1+a2+
b
1+b2+
c
1+c2≤
27
50(2a−a2+2b−b2+2c−c2)＝
27
50[2−(a2+b2+c2)]
又1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≤3（a2+b2+c2）
所以a2+b2+c2≥
1
3]
所以[a
1+a2+
b
1+b2+
c
1+c2≤
27/50×(2−
1
3)＝
9
10]（当且仅当a＝b＝c＝
1
3时取”=”）
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．
考点点评： 本题考查利用导数研究函数的极值与最值，还考查了利用函数的最值证明不等式恒成立的知识点，导数与不等式相结合是高考考查的热点，多以解答题的形式出现属于中档题．
