（2011•深圳模拟）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-1与x=2处都取得极值．
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解题思路：（1）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=-1和x=2代入求出a、b即可；
（2）求出函数的最大值为f（-1），要使不等式恒成立，既要证f（-1）+[3/2]c＜c2，即可求出c的取值范围．
（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax+b，
由题意：
f′(−1)＝0
f′(2)＝0即
3−2a+b＝0
12+4a+b＝0
解得
a＝−
3
2
b＝−6
∴f(x)＝x3−
3
2x2−6x+c，f′（x）=3x2-3x-6
令f′（x）＜0，解得-1＜x＜2；
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞2，
∴f（x）的减区间为（-1，2）；增区间为（-∞，-1），（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（-∞，-1）上单调递增；
在（-1，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．
∴x∈[-2，3]时，f（x）的最大值即为f（-1）与f（3）中的较大者.f(−1)＝
7
2+c；f(3)＝−
9
2+c
∴当x=-1时，f（x）取得最大值．
要使f(x)+
3
2c＜c2，只需c2＞f(−1)+
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．
考点点评： 考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及掌握不等式的证明方法．
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