已知函数f（x）=x2-x+alnx在x=[3/2]处取得极值．
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解题思路：（1）求出f′（x），因为函数在x=[3/2]处取得极值得到f′（[3/2]）=0，解出a的值即可得到f′（x）的解析式，然后求出f′（1）即得到切线的斜率，写出切线方程即可；
（2）求出函数的定义域，令f′（x）大于0求出x的范围即为函数的增区间；令f′（x）小于0求出x的范围即为函数的减区间．
（1）f′(x)＝2x−1+
a
x＝
2x2−x+a
x，
∵f(x)在x＝
3
2处取得极值，∴f′(
3
2)＝0，
∴2×(
3
2)2−
3
2+a＝0，∴a=-3，经检验符合题意，
∴f′（x）=
2x2−x−3
x，
∴切线的斜率k=f′（1）=-2
则曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=-2（x-1），即2x+y-2=0；
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当f′(x)＝
2x2−x−3
x＞0，可得x＞
3
2时，函数递增；
当f′（x）=
2x2−x−3
x＜0，可得0＜x＜[3/2]时，函数递减，
则f（x）的单调递增区间为(
3
2，+∞)，单调递减区间为(0，
3
2)．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 考查学生会利用导数研究函数的极值和单调性，掌握求函数的增减区间转化为导函数大于或小于0时x的范围．
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