已知函数f（x）=x2-x+alnx在x=[3/2]处取得极值．

已知函数f（x）=x2-x+alnx在x=[3/2]处取得极值．

（1）求曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程．

（2）求函数的单调区间．

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解题思路：（1）求出f′（x），因为函数在x=[3/2]处取得极值得到f′（[3/2]）=0，解出a的值即可得到f′（x）的解析式，然后求出f′（1）即得到切线的斜率，写出切线方程即可；

（2）求出函数的定义域，令f′（x）大于0求出x的范围即为函数的增区间；令f′（x）小于0求出x的范围即为函数的减区间．

（1）f′(x)＝2x−1+

a

x＝

2x2−x+a

x，

∵f(x)在x＝

3

2处取得极值，∴f′(

3

2)＝0，

∴2×(

3

2)2−

3

2+a＝0，∴a=-3，经检验符合题意，

∴f′（x）=

2x2−x−3

x，

∴切线的斜率k=f′（1）=-2

则曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=-2（x-1），即2x+y-2=0；

（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），

当f′(x)＝

2x2−x−3

x＞0，可得x＞

3

2时，函数递增；

当f′（x）=

2x2−x−3

x＜0，可得0＜x＜[3/2]时，函数递减，

则f（x）的单调递增区间为(

3

2，+∞)，单调递减区间为(0，

3

2)．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 考查学生会利用导数研究函数的极值和单调性，掌握求函数的增减区间转化为导函数大于或小于0时x的范围．

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