（2009•昌平区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（x1，0），
1个回答
（1）由x2-2x-3=0，得x=-1或x=3．
∵x1＜x2，
∴x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）把A，B两点的坐标分别代入y=ax2+bx+2联立求解，
得a＝−
2
3，b＝
4
3．（2分）
∴此抛物线的解析式为y＝−
2
3x2+
4
3x+2．
∵当x=0时，y=2，
∴C（0，2）．
设AC的解析式为y=kx+n（k≠0），把A，C两点坐标分别代入y=kx+n，
联立求得k=2，n=2．
∴直线AC的解析式为y=2x+2；
（3）假设存在满足条件的点P，并设直线y=m与y轴的交点为F（0，m）
①当DE为腰时，分别过点D，E作DP1⊥x轴于P1，作EP2⊥x轴于P2，如图1，则△P1DE和△P2ED都是等腰直角三角形，
∴DE=DP1=FO=EP2=m．
∵AB=x2-x1=4，
又∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴
DE
AB＝
CF
OC，即
m
4＝
2−m
2．
解得m＝
4
3．
∴点D的纵坐标是
4
3．
∵点D在直线AC上，
∴2x+2＝
4
3，
解得x＝−
1
3，
∴D(−
1
3，
4
3)．
∴P1(−
1
3，0)．
同理可求P2（1，0）．
②如图2，当DE为底边时，过DE的中点G作GP3⊥x轴于点P3
∵P3D=P3E，∠DP3E=90°，
∴DG=EG=GP3=m，
由△CDE∽△CAB，
得
DE
AB＝
CF
OC，即
2m
4＝
2−m
2，
解得m=1．
同①方法求得D(−
1
2，1)，E(
3
2，1)，
∴DG=EG=GP3=1．
∴OP3＝FG＝FE−EG＝
1
2，
∴P3(
1
2，0)．
综上所述，满足条件的点P共有3个，
即P1(−
1
3，0)，P2(1，0)，P3(
1
2，0)．
如有其他解（证）法，请酌情给分．
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