在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x 2 +bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴的正半轴交于点C，
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（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=-x 2+bx+c的得
0=-1-b+c
0=-9+3b+c ，
解得：
b=2
c=3
∴抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3，
即y=-（x-1） 2+4．
∴抛物线顶点E的坐标为（1，4）；
（2）∵EF ∥ BC，
∴△BCF与△BCE的BC边上的高相等，
S △BCF=S △BCE．
（3）将抛物线向下平移，则顶点Q在对称轴x=1上，
∴-
b
2a =1，
∴-
b
-2 =1，
∴b=2，
设抛物线的解析式为y=-x 2+2x+c（c＞0）．
∴此时，抛物线与y轴的交点为P（0，c），顶点为Q（1，1+c）．
∴OP=c，DQ=1+c．
∵y=0时
∴-x 2+2x+c=0，
∴ x 1 =1-
1+c ， x 2 =1+
1+c ，
∴ M(1-
1+c ，0) ， N(1+
1+c ，0) ．
如图，过点Q作QG ∥ PN与x轴交于点G，连接NG，则S △PNG=S △PNQ．
∵S △NPQ=S △MNP，
∴S △MNP=S △PNG．
∴ NG=MN=2
1+c ．
设对称轴x=1与x轴交于点D，
∴ DG=
1
2 MN+NG=3
1+c ．
∵QG ∥ PN，
∴∠PND=∠QGD．
∴Rt△QDG ∽ Rt△PON．
∴
QD
DG =
PO
ON ．
∴
1+c
3
1+c =
c
1+
1+c ．
c=
5
4 ．
∴点 P(0，
5
4 ) ， N(
5
2 ，0) ．
设直线PN的解析式为y=mx+n，将P，N两点代入，得
5
4 =n
0=
5
2 +n ，
解得：
m=--
1
2
n=
5
4
∴直线PN的解析式为 y=-
1
2 x+
5
4 ．
故答案为：△BCF与△BCE．
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