如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求三棱锥B
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（1）证明：由正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等可知：AB1⊥A1B
如图，取BC的中点E，连接B1E，则Rt△BCD≌Rt△B1BE
∴∠BB1E=∠CBD
∴∠CBD+∠BEB1=∠BB1E+∠BEB1=90°
∴BD⊥B1E
由平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，且AE⊥BC得，AE⊥平面BCC1B1
∴AE⊥BD
∵B1E?平面AEB1，AE?平面AEB1，AE∩B1E=E
∴BD⊥平面AEB1
∴BD⊥AB1
∵A1B?平面A1BD，BD?平面A1BD，A1B∩BD=B
∴AB1⊥平面A1BD
（2）连接B1D，由AA1∥平面BCC1B1
所以点A1到平面BCC1B1的距离，等于AE=
AB2?BE2＝
22?12＝
3
S△BDB1＝
1
2S正方形BCC1B1＝
1
2×2×2=2
∴VB?A1B1D＝VA1?BDB1=[1/3×S△BDB1×AE=
1
3×2×
3＝
2
3
3]
故三棱锥B-A1B1D的体积为
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