若锐角α,β,γ满足（cosα）^2+（cosβ）^2+（cosγ）^2+2*cosα*cosβ*cosγ=1,求证：α
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证明：令 x=cos α,
y=cos β,
z=cos γ,
则 x^2 +y^2 +z^2 +2xyz =1.(1)
又因为 α,β,γ 是锐角,
所以 x,y,z属于(0,1).
由(1)得
f(z) =z^2 +2xy *z +(x^2 +y^2 -1) =0.
所以 Delta =4x^2 y^2 -4(x^2 +y^2 -1)
=4 (1-x^2) (1-y^2).
又因为 1-x^2>0,1-y^2>0,
所以 z1= -xy +根号(1-x^2) *根号(1-y^2),
z2= -xy -根号(1-x^2) *根号(1-y^2).
又因为 x,y,z>0,
所以 z= -xy +根号(1-x^2) *根号(1-y^2)
= -cos α cos β +sin α sin β
= -cos (α+β)
= cos (π -α -β).
即 cos (π -α -β) =cos γ >0.
又因为 π -α -β 属于(0,π),
所以 π -α -β =γ.
即 α+β+γ =π.
= = = = = = = = =
用换元法,解方程.
正负是个大问题.
1-x^2>0,1-y^2>0.
z2
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