如图：已知Rt△ABC中∠C=90°，AC=3，B - 已解决

如图：已知Rt△ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在AC上，E与A、C均不重合．

（1）若点F在AB上，且EF平分△ABC的周长，设AE=x，用含x的代数式表示S_△AEF；

（2）若点F在折线ABC上移动，是否存在直线EF将Rt△ABC的周长与面积同时平分？若存在，求出AE的长，若不存在，请说出理由．

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解题思路：若求△AEF的面积，由已知知道其底边长，只需求出高就行了，利用平行线分线段成比例定理，建立中间量，即可求出其高度，第二问先假设成立，再建立平衡方程，进一步验证．最终得出结论．

（1）过点F作FM⊥AC于M，

EF平分△ABC的周长，AE=x，所以可得AE+AF=CE+BC+BF，

即：x+AF=3-x+4+5-AF，解得AF=6-x．

由平行线分线段成比例定理可知，

AF：AB=FM：BC，即，6-x：5=FM：4，

解得FM=[24−4x/5]，

所以S_△AEF=[1/2 ×

24−4x

5 •x=

12x−2 x2

（2）若EF存在，

①当F在AB上时，如图1，

则由（1）可知，S_△AEF=

12−2x2

5=[1/2 ×3×4×

2]=3，

化简得，2x²-12x+15=0，由△=12²-4×2×15=24＞0，

解得x₁=

6−

2，x₂=

2（不合题意舍去）．

即AE=

6−

2．

②当F在BC上时，如图2，

CF+CE=AE+AB+BF，

即CF+3-x=x+5+4-CF，

CF=3+x，

根据面积平分得出S_△CFE=S_{四边形BFEA}=[1/2]S_△ACB=3，

即[1/2]×（3-x）×（3+x）=3，

解得：x₃=

3，x₄=-

3（舍去），

即存在直线EF将Rt△ABC的周长与面积同时平分，AE的长是

6−

2或

3．

点评：

本题考点：平行线分线段成比例；根的判别式．

考点点评：能够将未知量通过求中间量建立等式关系，进而求解，另外对于类似第二问中的问题，可用假设的方法求解．

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