（2014•闵行区一模）如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lgx+
1个回答
解题思路：由给出的方程得到函数y=f（x）图象上任意一点的横纵坐标x，y的关系式，利用基本不等式求出x+y的范围，利用函数单调性的定义证明函数在（1，+∞）上的增减性，二者结合可得正确答案．
由lg（x+y）=lgx+lgy，得
x＞0
y＞0
x+y＝xy，
由x+y=xy得：x+y＝xy≤(
x+y
2)2＝
(x+y)2
4，
解得：x+y≥4．
再由x+y=xy得：y＝
x
x−1（x≠1）．
设x1＞x2＞1，
则f(x1)−f(x2)＝
x1
x1−1−
x2
x2−1＝
x1x2−x1−x2x1+x2
(x1−1)(x2−1)=
x2−x1
(x1−1)(x2−1)．
因为x1＞x2＞1，
所以x2-x10，x2-1＞0．
则
x2−x1
(x1−1)(x2−1)＜0，即f（x1）＜f（x2）．
所以y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，
综上，y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4．
故选C．
点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了利用基本不等式求最值，训练了利用单调性定义证明函数单调性的方法，是基础题．
相关问题
