如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，D是BC边上一点，CD=3，点P在边AC上（点P与A、C不重合
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解题思路：（1）首先根据勾股定理求得AD的长，又由平行线分线段成比例定理求得DE的长，则可得y与x的关系；
（2）因为当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，有DE=PE+BD，所以可以求得x的值，即可求得PC的长，则在Rt△PCD中，根据三角函数的性质即可求得tan∠DPE的值；
（3）首先由有两角对应相等的三角形相似，即可证得：△ACD∽△BFD与△ACE∽△BCB′，又由相似三角形对应边成比例，即可求得AP的值．
（1）∵在Rt△ABC中，AC=4，CD=3，
∴AD=5，
∵PE∥BC，
∴[AP/AC＝
AE
AD]，
∴[x/4＝
AE
5]，
∴AE=[5/4]x，
∴DE=5-[5/4]x，
即y=5-[5/4]x，（0＜x＜4）；
（2）当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，有DE=PE+BD，即5-[5/4]x=[3/4]x+2，
解之得x=[3/2]，
∴PC=[5/2]，
∵PE∥BC，
∴∠DPE=∠PDC，
在Rt△PCD中，
tan∠PDC=[PC/CD]=
5
2
3=[5/6]；
∴tan∠DPE=[5/6]；
（3）延长AD交BB′于F，则AF⊥BB′，连接CE，
则∠ACD=∠BFD，
∵∠ADC=∠FDB，
∴∠CAD=∠FBD，
∴△ACD∽△BFD，
∴BF=[8/5]，
∴BB′=[16/5]，
∵∠ACE=∠BCB′，∠CAE=∠CBB′，
∴△ACE∽△BCB′，
∴AE=[64/25]，
∴AP=[256/125]．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；切线的性质；翻折变换（折叠问题）．
考点点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，以及旋转的性质，三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
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