已知数列{an}，其中a2=6，an+1+an−1an+1−an+1=n．
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解题思路：（1）由题意得，在
a
n+1
+
a
n
−1
a
n+1
−
a
n
+1
=n中，分别令n=1，2，3可求结果；
（2）由数列前四项可猜想an=n（2n-1），运用数学归纳法可证明．
（1）由题意得，a2=6，
a2+a1−1
a2−a1+1=1，
a3+a2−1
a3−a2+1=2，
a4+a3−1
a4−a3+1=3，
得a1=1，a3=15，a4=28．
（2）猜想an=n（2n-1）下面用数学归纳法证明：
假设n=k时，有ak=k（2k-1）成立，
则当n=k+1时，有
ak+1+ak−1
ak+1−ak+1=k，
∴（k-1）ak+1=（k+1）ak-k-1，ak+1=（k+1）[2（k+1）-1]，即当n=k+1时，结论成立，
∴对n∈N*，an=n（2n-1）成立．
点评：
本题考点： 数列递推式；数学归纳法．
考点点评： 该题考查由数列递推式求数列的项、通项公式，考查数学归纳法，考查学生的运算求解能力．
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