已知函数f（x）=lnx-ax2+x（a∈R）
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解题思路：（1）求导函数，令导数正负，分离参数，即可求得结论；（2）分类讨论，利用数形结合的方法，即可求a的取值范围．
（1）求导函数可得f′(x)＝
1
x−2ax+1
令f′(x)＝
1
x−2ax+1≥0，
∵x＞0，∴2a≤[1
x2+
1/x]=(
1
x+
1
2)2−
1
4
∵x＞0，∴
1
x2+
1
x≥0
∴2a≤0，∴a最大值为0
f′(x)＝
1
x−2ax+1≤0，即-2ax2+x+1≤0，函数在（0，+∞）内不是单调函数
综上，a最大值为0；
（2）由（1）知，a≤0，函数f（x）在（0，+∞）内是单调增函数，f（x）＞0
∴a＞0
构造函数y1＝lnx，y2＝ax2−x
∵对于任意的x∈（0，+∞），总有f（x）≤0，
∴对于任意的x∈（0，+∞），总有y1＜y2，即对于任意的x∈（0，+∞），y1=lnx在y2＝ax2−x的下方，
如图所示，
∴0＜
1
a≤1，
∴a≥1
点评：
本题考点： 函数单调性的性质；函数恒成立问题．
考点点评： 本题考查函数的单调性，考查导数知识的运用，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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