1.设H是锐角三角形ABC的垂心,由A向以BC为直径的圆作切线AP、AQ,切点分别为P、Q.求证:P、H、Q三点共线.2
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这个好像是CMO的题目吧?96年的第一题

题图在下方,给一个简单的证明思路过程,就不详写了

设AB、AC分别与以BC为直径的半圆O交于E、F.设A到BC的垂足为D.连结AO交PQ于G.连结OP、OQ.

∵AP、AQ是半圆O的切线,

∴AO⊥PQ、OP⊥AP、OQ⊥AQ.

∴A、P、O、Q四点共圆.

∵由于H是垂心,

∴BF⊥AC,CE⊥AB,AD⊥BC.

∴AG·AO=AQ²(∵△AQO∽△AGQ)=AF·AC (由圆幂定理得到)=AH·AD (∵H、D、F、C四点共圆或者△AFD∽△ADC)

（不知道圆幂定理的话其实可以用相似的直角三角形的边长比例取代）

∴H、D、O、G四点共圆,∴∠HGO=180°-∠HDO=180°-90°=90°

∵AO⊥PQ,∴∠PGO=90.∴∠HGO=∠PGO,∴P、G、H三点共线.

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