如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,Rt△OAB的直角边OA在x轴的正半轴上,点B坐标为（$\sqrt{3}$,1）
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（1）∵在Rt△OAB中,AB=1,OA=3,注下面的3为根号3,因根号打不出
∴ tan∠AOB=ABOA=13=33,即∠AOB=30°,
∵△OCB≌△OAB,
∴∠COB=∠AOB=30°,
∴∠AOC=60°；
（2）∵OP=CQ=t,AB=1,OC=OA=3,
∴ AP=OQ=3-t,
∴S=2S△OAB-S△OPQ-S△PAB,
= OA×AB-12OP×OQ×sin∠AOC-12PA×AB,
= 3×1-12×t×(3-t)×32-12×(3-t)×1,
= 34t2-14t+32；
（3）①若△OMQ为等腰三角形,则：
（i）如图①所示,若OM=MQ,∠MQO=∠QOM=30°,
∵∠AOC=60°,
∴∠OPQ=Rt∠,
∴ OPOQ=12,即 t3-t=12,
解得：t=33．
（ii）如图②所示,若OM=OQ,∠OMQ=∠OQM=75°,
∵∠AOC=60°,
∴∠OPQ=45°,
过点Q作QE⊥OA,垂足为E,则有：
EQ=EP,即 32(3-t)=t-12(3-t),
解得：t=1．
（iii）若MQ=OQ,∠OMQ=∠QOM=∠POM,则PQ∥OA,显然不满足题意．
②线段OM长的最大值为 34．
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