设X1，X2，…Xn是总体为N（μ，σ2）的简单随机样本．记.X=[1/n]ni＝1Xi，S2=[1/n−1]ni＝1（
1个回答
解题思路：（1）验证E（T）=μ2即可；（2）利用方差的性质进行计算．
（1）
【解法1】
因为：T=
.
X2-[1/nS2，
所以：E（T）=E(
.
X]2)-[1/nE(S2)=D(
.
X]2)+(E(
.
X))2-[1/nE(S2)=
1
nσ2+μ2-
1
nσ2=μ2，
故T是μ2的无偏估计量．
【解法2】
因为：T=
.
X]2-[1/nS2=
n
n−1
.
X]2-
1
n(n−1)
n
i＝1Xi2=
1
n(n−1)
n
j≠kXjXk，
所以：E（T）=[1
n(n−1)
n/
j≠kE(XjXk)=
1
n(n−1)
n
j≠kE(Xj)E(Xk)=μ2，
因此，T是μ2的无偏估计量．
（2）
根据题意，有：
n
.
X]～N（0，1），n
.
X2～χ2（1），（n-1）S2～χ2（n-1），
于是：D(n
.
X2)=2，D（（n-1）S2）=2（n-1），
所以：
D（T）=D(
.
X2−
1
nS2)=[1
n2D(n
./X]2)+
1
n2(n−1)2D[（n-1）S2]=
2
n2+
2(n−1)
n2(n−1)2=
2
n(n−1)．
点评：
本题考点： 无偏估计；样本均值的定义及计算；样本方差的定义及计算．
考点点评： 本题考察了正态分布、卡方分布的性质与方差公式，综合性较强，需要熟练掌握相应知识点．
相关问题
