证明:当0
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证明：用反证法来证明

假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4,

由于a,b,c∈(0,1),

所以

√[(1-a)b]>1/2,

√[(1-b)c]>1/2,

√[(1-c)a]>1/2,

即√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]>3/2············①

又因为

√[(1-a)b]≤(1-a+b)/2,·············②

√[(1-b)c]≤(1-b+c)/2,

√[(1-c)a]≤(1-c+a)/2,

所以√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]≤3/2,

这与①式：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)>3/2矛盾.

所以假设不成立,

故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于1/4.

注：本题用到了以下的基本不等式：

由于(√a-√b)^2≥0,展开得：a+b≥2√ab,即：√ab≤(a+b)/2.

②式利用了该基本不等式

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