（2010•黑龙江模拟）选修4-5：不等式选讲

（2010•黑龙江模拟）选修4-5：不等式选讲

解不等式：||x+logx|＜|x|+|logx|．

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解题思路：本题是一个绝对值不等式，首先考虑去掉绝对值号，由于x处在真数的位置，由此隐含条件可以将不等式转化为|x+log3x|＜x+|log3x|，再对log3x的符号进行讨论，去掉绝对值号解出不等式的解集

由已知得x＞0，

∴原不等式化为|x+log3x|＜x+|log3x|…（2分）

（1）当log3x≥0时，x+log3x＜x+log3x不成立…（4分）

（2）当log3x＜0时，|x+log3x|＜x-log3x

此不等式等价于

x+log3x＜x−log3x

x+log3x＞log3x−x即

0＜x＜1

x＞0

∴0＜x＜1…（8分）

故原不等式的解集为{x|0＜x＜1}…（10分）

点评：

本题考点： 绝对值不等式的解法；不等式的证明．

考点点评： 本题考查绝对值不等式的解法，解题的关键是通过绝对值的意义，将绝对值不等式转化为对数不等式，由对数的运算性质解出不等式的解集，本题考查了转化化归的思想与计算能力，绝对值不等式的解法常规思路就是去绝对值号，其方法本题采取了分类讨论的办法，分大于等于0与小于0两类去绝对值号，有此也可通过平方的方法去掉绝对值号，题后总结一下规律，新教材实验区近几年高考试卷上不再出现绝对值不等式，其解法已不再作为考点

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