已知函数f（x）=x3+ax2+3bx+c（b≠0），且g（x）=f（x）-2是奇函数．
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解题思路：（1）先利用奇函数的定义g（-x）=-g（x）求出a，c的值；
（2）求导数令其为0，判断根左右两边的符号，求出函数的单调性．注意对参数的讨论．
（Ⅰ）因为函数g（x）=f（x）-2为奇函数，
所以，对任意的x∈R，都有g（-x）=-g（x），即f（-x）-2=-f（x）+2．
又f（x）=x3+ax2+3bx+c
所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2．
所以
a＝−a
c−2＝−c+2
解得a=0，c=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x3+3bx+2．
所以f'（x）=3x2+3b（b≠0）．
当b＜0时，由f'（x）=0得x＝±
−b．x变化时，f'（x）的变化情况如下：
x∈(−∞，−
−b)，时f′（x）＞0
x∈(−
−b，
−b)，时f′（x）＜0
x∈(
−b，+∞)，时f′（x）＞0
所以，当b＜0时，函数f（x）在(−∞，−
−b)上单调递增，
在(−
−b，
−b)上单调递减，在(
−b，+∞)上单调递增．
当b＞0时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．
点评：
本题考点： 函数的单调性与导数的关系；函数奇偶性的性质．
考点点评： 本题考查函数的奇偶性，利用导数求函数的单调区间的方法．注意：含参数的函数求单调性时一般需要讨论．
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