（1）f′（x）=（x-1） 2+2x（x-1）=3x 2-4x+1=（3x-1）（x-1），x＞0．令f′（x）=0，得x=
1
3 或x=1，f（x），f′（x）随x的变化情况如下表
∴当x=
1
3 时，有极大值f（
1
3 ）=
4
27 ，当x=1时，有极小值f（1）=0．
（2）由（1）知：f（x）在（0，
1
3 ]，[1，+∞）上是增函数，在[
1
3 ，1]上是减函数，
①0＜a≤
1
3 时，F（a）=a（a-1） 2，G（a）=（a-1） 2≥
4
9
特别的，当a=
1
3 时，有G（a）=
4
9 ，
②当
1
3 ＜a≤1时，F（a）=f（
1
3 ）=
4
27 ，G（a）=
4
27
a ≥
4
27
特别的，当a=1时，有G（a）=
4
27 ，
由①②知，当0＜a≤1时，函数 G(a)=
F(a)
a 的最小值为
4
27 ．
（3）由已知得h 1（x）=x+m-g（x）=2x 2-3x-lnx+m-t≥0在（0，+∞）上恒成立，
∵ h′ 1 (x)=
(4x+1)(x-1)
x ，
∴x∈（0，1）时，h′ 1（x）＜0，x∈（1，+∞）时，h 1（x）＞0
∴x=1时，h′ 1（x）取极小值，也是最小值，
∴当h 1（1）=m-t-1≥0，m≥t+1时，h 1（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
同样，h 2（x）=f（x）-x-m=x 3-2x 2-m≥0在（0，+∞）上恒成立，
∵h′ 2（x）=3x（x-
4
3 ），
∴x∈（0，
4
3 ）时，h′ 2（x）＜0，x∈（
4
3 ，+∞），h′ 2（x）＞0，
∴x=
4
3 时，h 2（x）取极小值，也是最小值，
∴ h 2 (
4
3 ) =-
32
27 -m≥0，m≤-
32
27 时，h 2（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴t+1≤m≤-
32
27 ，
∵实数m有且只有一个，∴m=-
32
27 ，t= -
59
27 ．
