已知函数 f(x)= a(x-1) x 2 ，其中a＞0．
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（Ⅰ）因为函数f（x）=
a(x-1)
x 2 ，
∴f′（x）=
[a(x-1)]′• x 2 -( x 2 )′a(x-1)
x 4 =
a(2-x)
x 3 ，f′（x）＞0⇒0＜x＜2，
f′（x）＜0⇒x＜0，或x＞2，
故函数在（0，2）上递增，在（-∞，0）和（2，+∞）上递减．
（Ⅱ）设切点为（x，y），
由切线斜率k=1=
a(2-x)
x 3 ，⇒x 3=-ax+2a，①
由x-y-1=x-
a(x-1)
x 2 -1=0⇒（x 2-a）（x-1）=0⇒x=1，x=±
a ．
把x=1代入①得a=1，
把x=
a 代入①得a=1，
把x=-
a 代入①得a=-1（舍去），．
故所求实数a的值为1．
（Ⅲ）∵g（x）=xlnx-x 2f（x）=xlnx-a（x-1），
∴g′（x）=lnx+1-a，解lnx+1-a=0得x=e a-1，
故g（x）在区间（e a-1，+∞）上递增，在区间（0，e a-1）上递减，
①当e a-1≤1时，即0＜a≤1时，g（x）在区间[1，e]上递增，其最小值为g（1）=0；
②当1＜e a-1＜e时，即0＜a＜2时，g（x）的最大值为g（e a-1）=a-e a-1；
③当e a-1≥e，即a≥2时，g（x）在区间[1，e]上递减，其最小值为g（e）=e+a-ae．
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