解题思路：（1）先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号即可得出结论．
（2）令h1（x）=x+m-g（x）=2x2-3x-1nx+m-t≥0在（0，+∝）上恒成立，利用导数求得x=1，函数h1（x）取得最小值．从而m≥t+1；同样地，h2（x）=f（x）-x-m=x3-2x2-m≥0在（0，+∞）上恒成立，求得t+1≤m≤
−
32
27
．由m的唯一性，知t=
−
59
27
，m=
−
32
27
（3）记p（x）=
f(x)
2x
+x−
1
2
−alnx
=
1
2
x
2
−alnx
，利用导数工具工具．求得有关的函数值，结合零点存在性定理求解．
（1）f′（x）=（3x-1）（x-1），令f′（x）=0得x1=[1/3]，x2=1，
f（x）在区间（0，
1
3），(
1
3，1)（1，+∞）分别单调增，单调减，单调增，
所以当x=[1/3]时，有极大值f（[1/3]）=[4/27]，x=1时，有极小值f（1）=0；
（2）由已知得h1（x）=x+m-g（x）=2x2-3x-1nx+m-t≥0在（0，+∝）上恒成立，由h1′（x）=
(4x+1)(x−1)
x
得x∈（0，1）时，h1（x）＜0时，x∈（1，+∞）时，h1（x）＞0，故x=1，函数h1（x）取得最小值．从而m≥t+1；
同样地，h2（x）=f（x）-x-m=x3-2x2-m≥0在（0，+∞）上恒成立，
求得t+1≤m≤−
32
27
由m的唯一性，知t=−
59
27，m=−
32
27
（3）记p（x）=
f(x)
2x+x−
1
2−alnx=[1/2x2−alnx
①当a=0时，p（x）在定义域（0，+∞）上恒大于0，此时方程无解；
②当a＜0时，p（x）在定义域（0，+∞）上为增函数．
p（e
1
a]）=[1/2e
2
a]-1＜0，p（1）＞0，所以此时方程有唯一解．
③当a＞0时，p′（x）=x-[a/x]=
x2−a
x，
当x∈(0，
a)时，p′（x）＜0，p（x）在(0，
a)上为减函数，
当x∈(
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查函数导数与单调性的关系，函数极值，零点存在性定理．考查推理论证，运算求解能力．
