已知各项均不相等的正项数列{a n },{b n }的前n项和分别为S n ,T n .
1个回答

(1)证明:设{a n},{b n}的公差分别为d 1,d 2(d 1,d 2均不为0),则

lim

x→∞

a n

b n =

lim

x→∞

a 1 +(n-1) d 1

b 1 +(n-1) d 2 =

d 1

d 2 ,…(4分)

lim

x→∞

S n

T n

lim

x→∞

n a 1 +

n(n-1)

2 d 1

n b 1 +

n(n-1)

2 d 2 =

d 1

d 2 ,

所以

lim

x→∞

a n

b n =

lim

x→∞

S n

T n .…(8分)

(2)设{a n},{b n}的公比分别为q 1,q 2(q 1,q 2均为不等于1的正数),则

lim

n→∞

a n

b n =

lim

n→∞

a 1 q 1 n-1

b 1 q 2 n-1 =

a 1

b 1

lim

n→∞ (

q 1

q 2 ) n-1 =

a 1

b 1 ( q 1 = q 2 )

0( q 1 < q 2 ). …(11分)

lim

n→∞

S n

T n =

a 1 (1- q 2 )

b 1 (1- q 1 )

lim

n→∞

1- q 1 n

1- q 2 n =

a 1

b 1 ( q 1 = q 2 )

a 1 (1- q 2 )

b 1 (1- q 1 ) (0< q 1 <1,0< q 2 <1)

0(0< q 1 < q 2 , q 2 >1). …(14分)

所以使

lim

x→∞

a n

b n =

lim

x→∞

S n

T n 成立的条件是0<q 1<q 2,q 2>1或q 1=q 2.…(16分)