（2014•黄山三模）已知椭圆C：x23+y2=1，圆O：x2+y2=4上一点A（0，2）．
1个回答
（Ⅰ）设切线方程为y=kx+2，代入椭圆方程并化简，
得：（1+3k2）x2+12kx+9=0，
由于直线与椭圆相切，
∴△=144k2-36（1+3k2）=0，
解得k1=1，k2=-1，
∴两切线方程分别为y=x+2，或y=-x+2，
∵k1k2=-1，∴l1⊥l2．
（Ⅱ）这位同学的观点正确，即直线l1、l2始终相互垂直．
证明如下：
（i）当过点P与椭圆C：
x2
3+y2＝1相切的一条切线的斜率不存在时，
此时切线方程为x=±
3，
∵点P在圆O：x2+y2=4上，则P（±3，±1），
∴直线y=±1恰好为过点P与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l1，l2互相垂直．
（ii）当过点P（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，
设切线方程为y-n=k（x-m），
由
x2
3+y2＝1
y−n＝k(x−m)，
得（1+3k2）x2+6k（n-mk）x+3（n-mk）2-3=0，
由于直线与椭圆相切，
∴△=36k2（n-mk）2-4（1+3k2）[3（n-mk）2-3]=0，
整理，得（m2-3）k2-2mnk+（n2-1）=0，
∴k1k2＝
m2−1
m2−3，
∵P（m，n）在圆x2+y2=4上，∴m2+n2=4，
∴m2-3=1-n2，
∴k1k2=-1，∴两直线互相垂直．
综上所述，直线l1、l2始终相互垂直．
相关问题
