已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．
1个回答
（1）（ⅰ）∵圆O过椭圆的焦点，圆O：x2+y2=b2，∴b=c，
∴b2=a2-c2=c2，a2=2c2，∴e=
2
2．
（ⅱ）由∠APB=90°及圆的性质，可得|OP|=
2b，∴|OP|2=2b2≤a2，
∴a2≤2c2∴e2≥
1
2，
2
2≤e＜1．
（2）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），
则
y0-y1
x0-x1=-
x1
y1，整理得x0x+y0y=x12+y12
∵x12+y12=b2
∴PA方程为：x1x+y1y=b2，PB方程为：x2x+y2y=b2．
从而直线AB的方程为：x0x+y0y=b2．
令x=0，得|ON|=|y|=
b2
|y0|，令y=0，得|OM|=|x|=
b2
|x0|，
∴
a2
|ON|2+
b2
|OM|2=
a2
y20+b2
x20
b4=
a2b2
b4=
a2
b2，
∴
a2
|ON|2+
b2
|OM|2为定值，定值是
a2
b2．
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