已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x-1）=-2x2+4x，
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解题思路：（1）因为函数为二次函数，设出解析式代入到f（x+1）+f（x-1）=-2x2+4x，求出f（x）的解析式即可；
（2）因为此二次函数为开口向下的抛物线，讨论区间[a，a+2]在二次函数对称轴左边右边和之间三种情况得到函数的最大值即可．
（1）设f（x）=ax2+bx+c，
a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x-1）2+b（x-1）+c=-2x2+4x，
2ax2+2bx+2a+2c=-2x2+4x，
a＝−1
b＝2
c＝1，∴f(x)＝−x2+2x+1．
（2）f（x）=-（x-1）2+2，
①a+2＜1即a＜-1，当x=a+2，f（x）max=-a2-2a+1；
②a≤1≤a+2即-1≤a≤1，当x=1，f（x）max=2；
③a＞1，当x=a，f（x）max=-a2+2a+1；
故f(x)max＝
−a2−2a+1，a＜−1
2，−1≤a≤1
−a2+2a+1，a＞1
点评：
本题考点： 函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．
考点点评： 考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，理解函数最值及几何意义的能力．
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