解题思路：在Rt△ABC中结合已知条件分析，要使D为AB的中点，则三角形ABE应是等腰三角形即可．
当∠A=30°时，ED恰为AB的中垂线，理由是：
∵∠A=30°，∠C=90°，
∴∠CBA=60°，
∴∠EBA=∠EBC=[1/2]∠CBA=[1/2]×60°=30°，
∴ED⊥AB，
∴∠A=∠EBA，
∴EA=EB，
∵ED⊥AB，
∴ED平分AB，
∴ED恰为AB的中垂线．
故选C．
点评：
本题考点： 线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；直角三角形的性质．
考点点评： 本题主要考查等腰三角形的基本性质；得到三角形ABE应是等腰三角形是正确解答本题的关键．
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