（2010•天津模拟）数列{an}满足a1=2，an+1=an2+6an+6（n∈N×）
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解题思路：（I）由已知可得，an+1+3=（an+3）2，利用构造法令Cn=log5（an+3），则可得
c
n+1
c
n
＝2
，从而可证数列{cn}为等比数列
（II）由（I）可先求数列cn，代入cn=log5（an+3）可求an
（III）把（II）中的结果代入整理可得，
b
n
＝
1
a
n
−6
−
1
a
n+1
−6
，则代入Tn=b1+b2+…+bn相消可证
（Ⅰ）由an+1=an2+6an+6得an+1+3=（an+3）2，
∴
log(an+1+3)5=2
log(an+3)5，即cn+1=2cn
∴{cn}是以2为公比的等比数列．
（Ⅱ）又c1=log55=1，
∴cn=2n-1，即
log(an+3)5=2n-1，
∴an+3=52n−1
故an=52n−1-3
（Ⅲ）∵bn=[1
an−6-
1
an2+6an=
1
an−6-
1
an+1−6，∴Tn=
1
a1−6-
1
an+1−6=-
1/4]-[1
52n−9．
又0＜
1
52n−9≤
1
52−9=
1/16]．
∴-[5/16]≤Tn＜-[1/4]
点评：
本题考点： 数列的求和；等比关系的确定；数列递推式．
考点点评： 本题考查了利用定义证明等比数列：数列{an}为等比数列⇔anan−1＝q≠0；利用构造法求数列的通项公式及数列的求和公式，属于对基本知识的综合考查．试题难度不大．
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