已知函数f（x）=ax3+bx+1的图象经过点（1，-1），且在x=1处f（x）取得极值，
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解题思路：（1）利用函数的导数在极值点处的值为0，及图象经过点（1，-1），列出方程组，求出a，b的值．
（2）将a，b的值代入导函数，令导函数大于0求出解集为递增区间．
（1）由函数f（x）=ax3+bx+1的图象经过点（1，-1），得a+b=-2…（1分）
f'（x）=3ax2+b …（3分）
又 f'（1）=3a+b=0…（5分）
解方程
a+b＝−2
3a+b＝0，得
a＝1
b＝−3
故 f（x）=x3-3x+1…（7分）
（2）由（1）知f'（x）=3x2-3，由f'（x）＞0 …（9分）
解得x＞1或x＜-1…（11分）
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞），…（12分）
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查函数的极值点处的导数值为0、考查函数的单调性与导函数的符号有关：导函数大于0时，函数递增；导函数小于0时，函数递减．
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