解题思路：（1）求导函数，利用函数在x=1处取得极值，可得a与b满足的关系式；
（2）确定函数f（x）的定义域，求导函数，确定分类标准，从而可得函数f（x）的单调区间；
（3）当a＞3时，确定f（x）在[[1/2]，2]上的最大值，g（x）在[[1/2]，2]上的最小值，要使存在m1，m2∈[[1/2]，2]，使得|f（m1）-g（m2）|＜9成立，只需要|f（x）max-g（x）min|＜9，即可求得a的取值范围．
（1）∵f(x)＝x−alnx+
b
x，
∴f′（x）=1-[a/x]-[b
x2，
∵f(x)＝x−alnx+
b/x]在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，
∴1-a-b=0，即b=1-a．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由（1）可得f′（x）=1-[a/x]-[b
x2=
x2−ax−(1−a)
x2=
(x−1)[x−(a−1)]
x2，
令f′（x）=0，则x1=1，x2=a-1．
∵a＞3，x2＞x1，当x∈（0，1）∪（a-1，+∞）时，f′（x）＞0；
当x∈（1，a-1）时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（a-1，+∞）；单调递减区间为（1，a-1）．
（3）当a＞3时，f（x）在[
1/2]，1）上为增函数，在（1，2]为减函数，
所以f（x）的最大值为f（1）=2-a＜0．
因为函数g（x）在[[1/2]，2]上是单调递增函数，
所以g（x）的最小值为g（[1/2]）=[1/4]a2+3＞0．
所以g（x）＞f（x）在[[1/2]，2]上恒成立．
要使存在m1，m2∈[[1/2]，2]，使得|f（m1）-g（m2）|＜9成立，只需要g（[1/2]）-f（1）＜9，
即[1/4]a2+3-（2-a）＜9，
所以-8＜a＜4．
又因为a＞3，所以a的取值范围是（3，4）．
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是正确求导，确定分类标准，利用函数的最值解决恒成立问题．
