已知函数 f(x)=x-alnx+ b x 在x=1处取得极值，且a＞3
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（1）∵ f(x)=x-alnx+
b
x ，
∴f′（x）=1-
a
x -
b
x 2 ，
∵ f(x)=x-alnx+
b
x 在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，
∴1-a-b=0，即b=1-a．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由（1）可得f′（x）=1-
a
x -
b
x 2 =
x 2 -ax-(1-a)
x 2 =
(x-1)[x-(a-1)]
x 2 ，
令f′（x）=0，则x 1=1，x 2=a-1．
∵a＞3，x 2＞x 1，当x∈（0，1）∪（a-1，+∞）时，f ′（x）＞0；
当x∈（1，a-1）时，f ′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（a-1，+∞）；单调递减区间为（1，a-1）．
（3）当a＞3时，f（x）在[
1
2 ，1）上为增函数，在（1，2]为减函数，
所以f（x）的最大值为f（1）=2-a＜0．
因为函数g（x）在[
1
2 ，2]上是单调递增函数，
所以g（x）的最小值为g（
1
2 ）=
1
4 a 2+3＞0．
所以g（x）＞f（x）在[
1
2 ，2]上恒成立．
要使存在m 1，m 2∈[
1
2 ，2]，使得|f（m 1）-g（m 2）|＜9成立，只需要g（
1
2 ）-f（1）＜9，
即
1
4 a 2+3-（2-a）＜9，
所以-8＜a＜4．
又因为a＞3，所以a的取值范围是（3，4）．
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