已知函数f(x)=1-[23x+1
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解题思路:(1)利用奇函数的定义即可判断出;

(2)利用单调函数的定义即可证明;

(3)利用函数的奇偶性和单调性即可解出.

(1)由函数f(x)=1-

2

3x+1,可得定义域为R.

∵f(-x)=1−

2

3−x+1=1−

2•3x

1+3x=

1−3x

1+3x=

2−(1+3x)

1+3x=

2

1+3x-1=−(1−

2

1+3x)=-f(x).

∴函数f(x)是奇函数.

(2)证明:∀x1<x2,则0<3x1<3x2.

则f(x1)-f(x2)=1−

2

3x1+1-(1−

2

3x2+1)=

2(3x1−3x2)

(3x1+1)(3x2+1)<0,

∴f(x1)<f(x2).

∴函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调增函数.

(3)由f(2x)+f(x-1)<0,化为f(2x)<-f(x-1)=f(1-x),

由(2)可知:函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调增函数.

∴2x<1-x,

∴x<

1/3].

∴f(2x)+f(x-1)<0的解集为:{x|x<

1

3}.

点评:

本题考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明.

考点点评: 本题考查了函数的奇偶性和单调性,属于基础题.

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