解题思路:(1)利用奇函数的定义即可判断出;
(2)利用单调函数的定义即可证明;
(3)利用函数的奇偶性和单调性即可解出.
(1)由函数f(x)=1-
2
3x+1,可得定义域为R.
∵f(-x)=1−
2
3−x+1=1−
2•3x
1+3x=
1−3x
1+3x=
2−(1+3x)
1+3x=
2
1+3x-1=−(1−
2
1+3x)=-f(x).
∴函数f(x)是奇函数.
(2)证明:∀x1<x2,则0<3x1<3x2.
则f(x1)-f(x2)=1−
2
3x1+1-(1−
2
3x2+1)=
2(3x1−3x2)
(3x1+1)(3x2+1)<0,
∴f(x1)<f(x2).
∴函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调增函数.
(3)由f(2x)+f(x-1)<0,化为f(2x)<-f(x-1)=f(1-x),
由(2)可知:函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调增函数.
∴2x<1-x,
∴x<
1/3].
∴f(2x)+f(x-1)<0的解集为:{x|x<
1
3}.
点评:
本题考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明.
考点点评: 本题考查了函数的奇偶性和单调性,属于基础题.
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