已知函数f（x）=-[1/2]x2+3x+（[9/2]sinθ）lnx
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解题思路：（1）当sinθ=-[4/9]时，f（x）=-[1/2]x2+3x-2lnx（x＞0），求导函数，令f′（x）＞0，可得函数的单调递增区间；令f′（x）＜0，x＞0，可得函数的单调递减区间；
（2）求导函数，构造新函数，根据函数f（x）在（0，+∞）上不是单调函数，即可求θ的取值范围．
（1）当sinθ=-[4/9]时，f（x）=-[1/2]x2+3x-2lnx（x＞0）
∴f′(x)＝−x+3−
2
x＝
−x2+3x−2
x
令f′（x）＞0，可得1＜x＜2；令f′（x）＜0，x＞0，可得x＜1或x＞2
∴函数的单调递增区间为（1，2），单调递减区间为（0，1）或（2，+∞）
（2）∵f′(x)＝−x+3+
9sinθ
2x＝
−2x2+6x+9sinθ
x
令y=-2x2+6x+9sinθ（x＞0），其对称轴为x＝
3
2＞0
∵函数f（x）在（0，+∞）上不是单调函数
∴△=36+72sinθ＞0
∴sinθ＞−
1
2
∴θ∈(2kπ−
π
6，2kπ+
7π
6)(k∈Z)
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查三角函数知识，属于中档题．
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