解题思路：（Ⅰ）求f′（x），根据f′（x）的符号判断函数f（x）的单调性，根据单调性求它在[1，e]上的最大、最小值；
（Ⅱ）作差比较f（x），g（x）的大小，所以构造函数F（x）=f（x）-g（x），求F′（x），判断该导数的符号便可判断出F（x）在[1，+∞）上单调递减，所以F（x）≤F（1）=-[1/6]＜0，所以便得到f（x）＜g（x）；
（Ⅲ）f′（x）=x+[1/x]，所以便得到f′（xn）=
x
n
+
1
x
n
，所以设S=
[f′(x)
]
n
−f′(
x
n
)＝(x+
1
x
)
n
−
x
n
−
1
x
n
=
∁
n
1
x
n−1
•
1
x
+
∁
n
2
x
n−2
•
1
x
2
+…+
∁
n
n−1x•
1
x
n−1
①；
对该式倒序相加便得到S=
∁
n
n−1
x
−(n−2)
+
∁
n
n−2
x
−(n−4)
+…+
∁
n
1
x
n−2
②．①+②得：2S=
∁
n
1
[
x
n−2
+
x
−(n−2)
]
+
∁
n
2[
x
n−4
+
x
−(n−4)
]
+…+
∁
n
n−1
[
x
−(n−2)
+
x
n−2
]
，所以根据基本不等式便可得到：2S≥2
(
∁
n
1
+
∁
n
2
+…+
∁
n
n−1
)
=2（2n-2），所以S≥2n-2．
（I）f′(x)＝x+
1
x＞0(x＞0)，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
∴f（x）在[1，e]的最大值，最小值分别为f(e)＝
1
2e2+1，f(1)＝
1
2]；
（II）设F（x）=f（x）-g（x）=[1/2x2+lnx−
2
3x3，F′(x)＝x+
1
x−2x2＝
x2+1−2x3
x]=
(1−x)(2x2+x+1)
x
∴当x≥1时，F′（x）≤0，即F（x）在[1，+∞）上单调递减；
∴F（x）≤F（1）=−
1
6＜0；
∴f（x）＜g（x）；
（III）f′(x)＝x+
1
x，∴[f′(x)]n＝(x+
1
x)n，f′(xn)＝xn+
1
xn；
∴设S=[f′（x）]n-f′（xn）＝∁n1xn−1•
1
x+∁n2xn−2•
1
x2+…+∁nn−1x•
1
xn−1 ①；
将上式倒序相加S=∁nn−1x−(n−2)+∁nn−2x−(n−4)+…+∁n1xn−2②；
∴①+②得：2S＝∁n1[xn−2+x−(n−2)]+∁n2[xn−4+x−(n−4)]+…+∁nn−1[x−(n−2)+xn−2]≥2(∁n1+∁n2+…+∁nn−1)；
∴S≥∁n1+∁n2+…+∁nn−1=2n-2；
即[f′（x）]n-f′（xn）≥2n-2．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 考查根据函数导数符号判断函数单调性的方法，以及根据单调性求函数的最大值、最小值，构造函数解决问题的方法，以及二项式定理，对于求和的时候所用的倒序相加的方法，及（1+1）n的二项展开式．
