已知函数f（x）=lnx， g(x)= 1 2 x 2 ，
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（I）F（x）=ag（x）-f（x）=
1
2 ax 2-lnx，
F′（x）=ax-
1
x =
a x 2 -1
x （x＞0）
∴函数F（x）在（0，
1
a ）上为减函数，在（
1
a ，+∞）上为增函数
若F（x）没有零点，须且只须F（
1
a ）＞0，
即
1
2a +
1
2 lna＞0，即
1
a +lna＞ 0
设g（a）=
1
a +lna ，∵g′（a）=
a-1
a 2
∴g（a）在（0，1）而为减函数，在（1，+∞）上为增函数，而g（1）=1＞0
∴g（a）＞0，即当a＞0时，
1
a +lna＞ 0恒成立
故若F（x）没有零点，则a的取值范围为（0，+∞）
（II）若x 1＞x 2＞0，总有m[g（x 1）-g（x 2）]＞x 1f（x 1）-x 2f（x 2）成立，
即若x 1＞x 2＞0，总有mg（x 1）-x 1f（x 1）＞mg（x 2）-x 2f（x 2）成立，
即函数h（x）=mg（x）-xf（x）=
1
2 mx 2-xlnx，在（0，+∞）上为增函数，
即h′（x）=mx-lnx-1≥0在（0，+∞）上恒成立
即m≥
lnx+1
x 在（0，+∞）上恒成立
设G（x）=
lnx+1
x ，则G′（x）=
-lnx
x 2
∴G（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，
∴G（x）≤G（1）=1
∴m≥1
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