已知函数f（x）= 1 2 a x 2 +2x，g（x）=lnx．
1个回答

（1）①当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，不符合题意；

②当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为x=-

2

a ，y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，不符合题意；

③当a＜0时，函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，则-

2

a ≤1，解得a≤-2，

综上，a的取值范围是a≤-2；

（2）把方程

g(x)

x =f′（x）-（2a+1）整理为

lnx

x =ax+2-(2a+1) ，即方程ax 2+（1-2a）x-lnx=0，

设H（x）=ax 2+（1-2a）x-lnx（x＞0），则原问题等价于函数H（x）在区间（

1

e ，e）内有且只有两个零点．

H′（x）=2ax+（1-2a）-

1

x =

2a x 2 +(1-2a)x-1

x =

(2ax+1)(x-1)

x ，令H′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或x=-

1

2a （舍），

当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数．

H（x）在（

1

e ，e）内有且只有两个不相等的零点，只需

H(

1

e )＞0

H(x ) min ＜0

H(e)＞0 ，即

a

e 2 +

1-2a

e +1=

(1-2a)e+a+ e 2

e 2 ＞0

H(1)=a+(1-2a)=1-a＜0

a e 2 +(1-2a)e-1=( e 2 -2e)a+(e-1)＞0 ，

所以

a＜

e 2 +e

2e-1

a＞1

a＞

1-e

e 2 -2e ，解得1＜a＜

e 2 +e

2e-1 ．

所以a的取值范围是（1，

e 2 +e

2e-1 ）．

相关问题