已知函数f（x）=[1/2]x2+lnx．
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解题思路：（I）构造F（x）=[1/2]x2+lnx-[2/3]x3，利用导数确定在[1，+∞）上，F（x）＜0，即可得到结论；
（II）x＞0时，[f′（x）]n-f′（xn）=
(x+
1
x
)
n
−(
x
n
+
1
x
n
)
，利用二项式定理，结合基本不等式，即可证得结论．
证明：（I）设F（x）=[1/2]x2+lnx-[2/3]x3，则F′(x)＝
(1−x)(1+x+2x2)
x，
∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上是减函数．
又F（1）=-[1/6]＜0，故在[1，+∞）上，F（x）＜0，即[1/2]x2+lnx＜[2/3]x3，
∴在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=[2/3]x3图象的下方；---------（6分）
（II）∵x＞0，∴[f′（x）]n-f′（xn）=(x+
1
x)n−(xn+
1
xn)．
当n=1时，不等式显然成立；
当n≥2时，有[f′（x）]n-f′（xn）=
C1nxn−1•
1
x+
C2nxn−2•
1
x2+…+
Cn−1nx•
1
xn−1
=[1/2][
C1n(xn−2+
1
xn−2)+
C2n(xn−4+
1
xn−4)+…+
Cn−1n(xn−2+
1
xn−2)]
≥[1/2]（2
C
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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