已知函数f（x）=x2+lnx．
1个回答
解题思路：（1）求出导数f′（x），易判断x＞1时f′（x）的符号，从而可知f（x）的单调性，根据单调性可得函数的最值；
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=
1
2
x
2
-
2
3
x
3
+lnx，则只需证明F（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为F（x）的最大值小于0，利用导数可求得F（x）的最大值．
（1）∵f（x）=x2+lnx，∴f′（x）=2x+[1/x]，
∵x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[1，e]上是增函数，
∴f（x）的最小值是f（1）=1，最大值是f（e）=1+e2；
（2）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=[1/2x2-
2
3x3+lnx，
则F′（x）=x-2x2+
1
x]=
x2−2x3+1
x=
x2−x3−x3+1
x=
(1−x)(2x2+x+1)
x，
∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴F（x）＜F（1）=[1/2−
2
3]=-[1/6]＜0，即f（x）＜g（x），
∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象下方．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值及恒成立问题，考查转化思想，恒成立问题往往转化为函数最值解决．
相关问题
