如图，已知正三棱柱ABC﹣A 1 B 1 C 1 的底面边长是2，D是侧棱CC 1 的中点，直线AD与侧面BB 1 C
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（Ⅰ）设正三棱柱ABC﹣A 1B 1C 1的侧棱长为x．取BC中点E，连接AE．
∵△ABC是正三角形，
∴AE⊥BC．
又底面ABC⊥侧面BB 1C 1C，且两平面交线为BC，
∴AE⊥侧面BB 1C 1C．
连接ED，则∠ADE为直线AD与侧面BB 1C 1C所成的角．
∴∠ADE=45°．
在Rt△AED中，
，
解得
．
∴此正三棱柱的侧棱长为
．
（Ⅱ）过E作EF⊥BD于F，连接AF．
∵AE⊥侧面BB 1C 1C，
∴EF是AF在平面BCD内的射影．
由三垂线定理，可知AF⊥BD．
∴∠AFE为二面角A﹣BD﹣C的平面角．
在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，又BE=1，
，
∴
．又
，∴在Rt△AEF中，
．
故二面角A﹣BD﹣C的大小为arctan3．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，BD⊥平面AEF，
∴平面AEF⊥平面ABD，且交线为AF，过E作EG⊥AF于G，则EG⊥平面ABD．
∴EG的长为点E到平面ABD的距离．
在Rt△AEF中，
．
∵E为BC中点，
∴点C到平面ABD的距离为
．
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