如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，平面ABD和平面A1B1C的交线为MN．

如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，平面ABD和平面A1B1C的交线为MN．

（Ⅰ）试证明AB∥MN；

（Ⅱ）若直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°，试求二面角A-BD-C的大小．

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解题思路：（1）要证线线平行，可先证线面平行，再根据线面平行的性质，证明线线平行；

（2）求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角，再利用解三角形的办法解答．

证明：（Ⅰ）由题意AB∥A1B1，

又A1B1⊂平面CA1B1，AB∉平面CCA1B1，∴AB∥平面CA1B1

又AB⊂平面DAB，平面DAB∩平面CA1B1=MN，∴AB∥MN

（Ⅱ）取BC中点E，连AE，过E作EF⊥BD于F，连AF．

∵△ABC是正三角形，∴AE⊥BC．

又底面ABC⊥侧面BB1C1C，且交线为BC

∴AE⊥侧面BB1C1C

又EF⊥BD，AF⊥BD

∴∠AFE为二面角A-BD-C的平面角

连ED，则直线AD与侧面BB1C1C所成的角为∠ADE=45°．

设正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为x．则在Rt△AED中，

tan45°＝

AE

ED＝

3

1+

x2

4解得x＝2

2．

此正三棱柱的侧棱长为2

2

在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，又BE=1，sin∠EBF=

CD

BD＝

3

3，

EF=

3

3．又AE＝

点评：

本题考点： 空间中直线与直线之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评： （1）对于已知条件中出现了（或容易证明）有关的面面平行的问题，往往就要紧紧围绕着面面平行的性质，从而得到线线（或线面）平行，从而将问题解决．

（2）求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AFE为二面角A-BD-C的平面角，通过解∠AFE所在的三角形求得∠AFE．其解题过程为：作∠AFE→证∠AFE是二面角的平面角→计算∠AFE，简记为“作、证、算”．

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