已知AD是△ABC的角平分线,I是线段AD上的点,且∠BIC=90度+二分之一∠BAC ,求证;I是△ABC的内心
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作△ABC的外接圆,圆心为O,延长AI交圆O于点F,延长BI交圆于E,连接CE,CF,EF
∠BIC=90°+(1/2)∠BAC=180°-∠EIC
∠EIC=90°-（1/2）∠BAC
∠BAC,∠E为同弧圆周角,有∠BAC=∠BEC
∴∠EIC=90°-(1/2)∠BEC
而∠BEC=180°-∠EIC-∠ECI
∠EIC=90°-(1/2)*(180°-∠EIC-∠ECI)
∠EIC=∠ECI
∴△EIC是等腰三角形,有EI=EC
AD平分∠BAC
∴∠BAF=∠CAF
又∠BAF,∠BEF以及∠CAF,∠CEF分别为同弧圆周角
∴∠BAF=∠BEF,∠CAF=∠CEF
∴∠BEF=∠CEF
于是在△IEF和△CEF中,EF=EF,IE=EC,∠BEF=∠CEF
∴△IEF≌△CEF
∴∠AFE=∠CFE
又∠AFE,∠ABE以及∠CFE,∠CBE分别是同弧圆周角
∴∠AFE=∠ABE,∠CFE=∠CBE
∴∠ABE=∠CBE
BI平分∠ABC
根据内心定义,可知I为△ABC的内心
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