在区间(-2,1)内,函数f(x)=-x3+ax2+bx在x=-1处取得极小值,在x=23处取得极大值.
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解题思路:(Ⅰ)求导函数,利用函数f(x)=-x3+ax2+bx在x=-1处取得极小值,在

x=

2

3

处取得极大值,建立方程,即可求a,b的值;

(Ⅱ)利用导数的正负,即可得到f(x)在(-∞,+∞)上的单调区间.

(Ⅰ)∵f(x)=-x3+ax2+bx,∴f′(x)=-3x2+2ax+b(2分)

∵函数f(x)=-x3+ax2+bx在x=-1处取得极小值,在x=

2

3处取得极大值

∴f′(-1)=0,f′(

2

3)=0(6分)

∴-3(-1)2+2a×(-1)+b=0,−3(

2

3)2+2a×(

2

3)+b=0

联立求解得a=−

1

2,b=2(8分)

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f'(x)=-3x2-x+2,f(x)=−x3−

x2

2+2x,

当x∈[-2,1]时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:(12分)

x (-∞,-1) -1 (−1,

2

3) [2/3] (

2

3,+∞)

f′(x) - 0 + 0 -

f(x) 极小值 极大值 ∴f(x)在(-∞,-1),(

2

3,+∞)上单调递减;(14分)

f(x)在(−1,

2

3)上的单调递增.(15分)

点评:

本题考点: 函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性.

考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的极值,考查函数的单调性,正确求导是关键.