函数y=x²+1(o≤x≤1)图像上点P处的切线与直线y=0,x=0,x=1围成的梯形面积等于S,则S最大值是
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y=x²+1(o≤x≤1)图像上点的切线斜率为y'=2x (0≤x≤1)

设切点为P(a,b),则切点处斜率为y'(a)=2a (0≤a≤1)

设切线方程为y=y'(a)x+c,则由点P在抛物线上,∴有b=a^2+1,∴P(a,a^2+1)

又切点P在切线上,∴有a^2+1=y'(a)*a+c=2a^2+c => c=1-a^2

∴切线方程为y=2ax+1-a^2

梯形围成时,切线在x=0和x=1处的值分别为：

y(0)=1-a^2,y(1)=2a+1-a^2

∴梯形面积为S=1/2*(y(0)+y(1))*(1-0)=1/2*(1-a^2+2a+1-a^2)=1+a-a^2

即S=1+a-a^2=5/4-(1/2-a)^2

∴当a=1/2时,面积S取得最大值5/4

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