如果x∈（-[π/2]，0）时总有k（x+[π/2]）＞cosx成立，则实数k的取值范围是（ ）
1个回答
解题思路：先设t=x+[π/2]∈（0，[π/2]），得到k＞
sin(x+
π
2
)
x+
π
2
=[sint/t]，设f（t）=[sint/t]，利用导数，判断函数f（t）为减函数，再根据根据罗必达法则求得
lim
t→0
sint
t
=1，问题得以解决．
x∈（-[π/2]，0）令t=x+[π/2]∈（0，[π/2]），
∴cosx=sin（x+[π/2]）∈（0，1），
∵k（x+[π/2]）＞cosx，
即k＞
sin(x+
π
2)
x+
π
2=[sint/t]，
设f（t）=[sint/t]，
∴f′（t）=[tcost−sint
t2，
令g（t）=tcost-sint，
∴g′（t）=cost-tsint-cost=-tsint，
∵t=x+
π/2]∈（0，[π/2]），
∴g′（t）＜0，
∴g（t）为减函数，
∴g（t）＜g（0）=0，
∴f′（t）＜0，
∴函数f（t）为减函数，
∴根据罗必达法则得对f（t）=[sint/t]分子求导为cosx，分母求导为1，
∴[cos0/1]=1，
∴
lim
t→0
sint
t=1，
∴f（t）＜f（0）=1，
∴k≥1，
即k∈[1，+∞），
故选：A．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题主要考查了导数和函数的单调性的关系，以及参数的取值范围，关键是求出得limt→0sintt=1，属于难题．
相关问题
