如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2 +bx-7的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点C为抛物 线的顶点，
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（1）因为A，C两点的横坐标分别为1，4，
所以点A（1，0）．（1分）
又点A，B关于对称轴x=4对称，点B（7，0）．（2分）
（2）因为二次函数y=ax 2+bx-7的图象经过点A（1，0），B（7，0）．
所以
a+b-7=0
49a+7b-7=0 （4分）
解得：
a=-1
b=8 （6分）．
所以二次函数的表达式为y=-x 2+8x-7．（7分）
（3）假设抛物线上存在点P（x，y），使得∠BAP=45°（8分）
①当点P在x轴上方时有x-1=y，
∴x-1=-x 2+8x-7，
即x 2-7x+6=0．
解得：x=6或x=1（不合题意舍去）
∴y=-6 2+8×6-7=5．
∴点P为（6，5）．（9分）
此时，S △ABP=
1
2 ×（7-1）×5=
30
2 =15（10分）．
②当点P在x轴的下方时，有x-1=-y．
∴x-1=x 2-8x+7，
解得：x=8或x=1（不合题意舍去）
∴y=-8 2+8×8-7=-7．
∴点P为（8，-7）．（11分）
此时，S △ABP=
1
2 ×（7-1）×7=
42
2 =21（12分）．
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