已知函数f（x）=2x2x+1+a是奇函数．
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解题思路：（1）由奇函数定义知，有f（-x）=-f（x）恒成立，由此可求a值；
（2）设x1、x2∈R且x1＜x2，通过作差判断f（x2）与f（x1）的大小，利用函数单调性的定义可作出判断；
（3）对任意的实数x，不等式f（x）＞2m-1恒成立，等价于2m-1＜f（x）min，根据基本函数的值域可求出f（x）min．
（1）由f（x）=
2x
2x+1+a是奇函数，有f（-x）=-f（x），
∴
2−x
2−x+1+a＝−(
2x
2x+1+a），
∴2a=-
2x
2x+1−
1
2x+1＝−1，
∴a=-[1/2]．
（2）f（x）在R上是增函数．
f（x）=
2x
2x+1−
1
2＝
2x+1−1
2x+1−
1
2＝
1
2−
1
2x+1
设x1、x2∈R且x1＜x2，
f（x2）-f（x1）=(
1
2−
1
2x2+1)-(
1
2−
1
2x1+1)
=
2x2−2x1
(2x2+1)(2x1+1)，
∵x1＜x2，∴2x2＞2x1，
∴
2x2−2x1
(2x
点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．
考点点评： 本题考查函数的奇偶性、单调性以及不等式恒成立问题，对于函数奇偶性、单调性常用定义解决，而恒成立则往往转化为函数最值问题．
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