已知定义域为R的函数f(x)＝1−2x2x+1+a是奇函数．
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解题思路：（1）由奇函数的定义得f（1）=-f（-1），代入解析式求出a的值；
（2）根据奇函数的定义将不等式化为：f（t2-2t）＜f（-2t2+k），再分离函数解析式，利用指数函数的复合函数的单调性判断出此函数的单调性，再列出关于x的不等式，由题意转化为：3t2-2t-k＞0恒成立，利用二次函数的性质列出等价不等式求解．
（1）由f（x）是奇函数得，f（1）=-f（-1），
即[1−2/4+a]=-
1−
1
2
1+a，解得a=2，
（2）∵f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0，
∴f（t2-2t）＜-f（2t2-k），
∵f（x）为奇函数，
∴f（t2-2t）＜f（-2t2+k）
由（1）得，
f(x)＝
1−2x
2x+1+2＝
−(2x+1)+2
2(2x+1)＝−
1
2+
1
2x+1，
∴f（x）在定义域内为单调递减函数，
∴t2-2t＞-2t2+k，即3t2-2t-k＞0恒成立，
∴△=4+12k＜0，解得k＜−
1
3，
故k的取值范围是(−∞，−
1
3)．
点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．
考点点评： 本题主要考查了奇函数的定义的灵活应用，以及分离常数法，复合函数和指数函数单调性的应用，二次函数的性质的应用，较综合，但难度不大．
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