在三角形ABC中,若(a+b+c)(a-b+c)=3ac,且tanA+tanC=3+根号3,AB边上的高为4倍根号3,求
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a+b+c)(a-b+c)=3ac,(a+c)^2-b^2=3ac,a^2+c^2-b^2=ac,

cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=1/2,B=π/3=60度.

tan(A+C)=-tanB=-√3,

即(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)=(3+√3)/(1-tanAtanC)=-√3

tanAtanC=2+√3.

tanA=1,tanC=2+√3或tanA=2+√3,tanC=1

于是有:A=45度,B=60度,C=75度或者A=75度,B=60度,C=45度.

设AB边上高CD,CD=4√3,

A=45度,B=60度,C=75度时

AD=CD=4√3,BD=CD/tanB=(4√3)/√3=4

所以c=AB=AD+BD=4+4√3

a=BC=2BD=8,b=AC=(√2)CD=4√6

所以a=8,b=4√6,c=4+4√3

A=75度,B=60度,C=45度时

a=BC=2BD=8,BD=4,AD=CD/tanA=(4√3)/(2+√3)=-12+8√3

c=AB=BD+AD=-8+8√3

b=AC=√(AD^2+CD^2)=8√(6-3√3)

所以a=8,b=8√(6-3√3),c=-8+8√3