(1)椭圆的两焦点为(0,1),(0,－1),
由题意,这是所求双曲线的两个顶点,
则可设所求双曲线方程为y2－ ＝1,
由 x－3y＋6＝0得：y＝ ＋2代入双曲线方程并整理得：(5b2－3)x2＋ b2x＋9b2＝0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1＋x2＝－ ,x1x2= ,
那么x1x2＋y1y2＝x1x2＋ ＝ (x1＋x2)＋4
＝ ＋4＝
由OA⊥OB知,x1x2＋y1y2＝0即 ＝0,则b2＝3,
故双曲线方程为y2－ ＝1.
(2)由b2＝3得：x1＋x2＝－ ,x1x2＝ ,
则|AB|＝ |x1－x2|＝ ＝ ＝4.
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